უსასრულობა

Infinity
უსასრულობა
თემა: მათემატიკა: უსასრულობა
გეგმის სტრუქტურა: რომანტიკა
გაკვეთილის ხანგრძლივობა: ერთი ან ორი გაკვეთილი
გაკვეთილის ავტორი: Pawel Chrzastowski



მოკლე მიმოხილვა:
უსასრულობაზე ფიქრი ერთ-ერთ იმ ფიქრთაგანია, რომელიც მუდამ აწვალებს ჩვენს გონებას. ჩვენ მივეჩვიეთ მხოლოდ მცირე უსასრულობაზე ფიქრს. ჩვენ ის არსებები ვართ, რომელთა ტვინი განვითარდა, რათა საკვების პოვნა, გამრავლება, სიამოვნების ძიება და ტკივილის თავიდან აცილება შეგვძლებოდა, მაგრამ მიუხედავად ამისა, ჩვენ მაინც ხან ცას ვუცქერთ დაჟინებით, ხან მიწას, ვაკვირდებით ვარსკვლავთა კამარას და ვოცნებობთ. . . ჰო, უბრალოდ ვოცნებობთ. გვაინტერესებს, სად მთავრდება ყველაფერი და მთავრდება თუ არა. როცა დროში უკან დაბრუნებას ვცდილობთ, გვაინტერესებს როდის დაიწყო, საერთოდ დაიწყო თუ არა და სად და როდის, ან დამთავრდება თუ არა ეს ყველაფერი. ამგვარი ფიქრი ინტელექტუალურ აზროვნებაში ყოველდღიურ, ჩვეულ წვრილმანებზე – მეყოფა თუ არა ფული ავტობუსისათვის თუ ლუდისათვის, კარგადა ვარ თუ არა ჩაცმული შეხვედრისათვის, გაძლებს თუ არა ავტომანქანა კიდევ ერთი წელი - ფიქრისაგან მცირეოდენი გადახვევის მიზეზი ხდება. უსასრულობა ერთ-ერთი იმ საიდუმლოთაგანია, რომლის ჩარჩოებში ამ უმნიშვნელო თავსატეხებით ვართ დაკავებულნი.  

1. გმირული თვისებების იდენტიფიკაცია
ადამიანის რომელი გმირული თვისებები არის არსებითი ამ თემისათვის? რომელ ემოციურ ხატს აღვიძებენ ისინი? თემის ირგვლივ რას შეუძლია ყველზე უკეთ ინტერესის გაღვიძება? 
მასალისა და მოსწავლეების ემოციურად დასაკავშირებლად, მასწავლებელმა ჯერ თავად უნდა უნდა შეძლოს საკუთარი თავის ემოციური განწყობა. ადამიანის რომელი გმირული თვისებების ან ემოციების – სიმამაცე, თანაგრძნობა, შეუპოვრობა, შიში, იმედი, ზიზღი, აღტაცება და ა.შ. – შეიძლება გამოვკვეთოთ ამ თემაში? ეს ადამიანური თვისებები ჩვენც და მოსწავლეებსაც გვეხმარება ადამიანის თვალით დავინახოთ სამყარო და ნებისმიერ დისციპლინაში ნებისმიერ მოვლენასა და იდეას ადამიანისმიერი მნიშვნელობა მივანიჭოთ. ეს პირველი ნაბიჯი გაკვეთილის ან მოდულის (განყოფილების) დაგეგმვისას უძნელესია. ჩვენ გვთხოვენ ერთნაირად კარგად განვიცადოთ და ვიფიქროთ თემაზე; მეტიც, დევიდ კრეშის ტერმინით თუ ვიტყვით, გვთხოვენ ერთდროულად აღვიქვათ, შევიგრძნოთ და ვიფიქროთ.* (“perfink” David Kresch’s term for perceiving, feeling, and thinking together).



მთავარი გმირული თვისება: საბედისწეროდ იდუმალი უსასრულობა
ალტერნატივა (ები): უსასრულო წარმოსახვა, უცხოპლანეტელებისადმი და მომავლისადმი ინტერესი, საკუთარი სამყაროსადმი ინტერესი, პარადოქსული ფიქრებით ტკბობა.
ხატი, რომელიც გმირულ თვისებას ასახავს:
ხატი, რომელმაც შესაძლებელია მოსწავლეთა წარმოსახვა მოიცვას არის იდუმალი “სასტუმრო უსასრულობა”. ის შეიძლება დიდი ზომის ფურცელზე დავხატოთ და მივაკრათ ჭერზე ან დაფაზე. ეს იქნება ხაზები, რომლებიც რაკურსში უჩინარდება და უსასრულო ფანჯრები. შეიძლება წარმოვიდგინოთ უცხოპლანეტელთა ჯგუფი, დიდი ჯგუფი, რომელიც სასტუმროში აპირებს დაბინავებას. ისინი შესასვლელი კარის წინ ერთ ზოლად მწკრივდებიან და მოთმინებით ელიან როდის ეტყვიან ოთახის ნომერს. პირველი ამოცანა სასტუმროს მენეჯერისათვის მარტივია, რადგან მას უსასრულოდ ბევრი ოთახი აქვს; ის თითო უცხოპლანეტელს უბრალოდ თითო ოთახ აძლევს. მაგრამ როგორც კი ის უცხოპლანეტელთა გრძელ მწკრივს დააბინავებს, მოდის დაგვიანებული პლანეტა დედამიწიდან. . .    

2. თემისათვის თხრობის სტრუქტურის მიცემა
2.1 პირველი ნაბიჯი
თემის რომელი ასპექტი ასახავს ყველაზე უკეთ მასში განსაზღვრულ გმირულ თვისებებს? ნათელი ეფინება თუ არა გამოცდილების მნიშვნელობას ან რეალობის საზღვრებს? რომელი ხატი დაგვეხმარება ამ ასპექტის ახსნაში?
ამ განყოფილების პირველი გაკვეთილის ან ერთადერთი გაკვეთილის შესავალ ნაწილში მასწავლებელმა საკუთარ წარმოსახვაში უნდა მოძებნოს ის ხატები, რომელიც გმირულ თვისებებს ასახავს და რომელმაც ამ განყოფილების დრამატული სტრუქტურა უნდა უზრუნველყოს. უნდა გვახსოვდეს, რომ გმირული თვისებების განცდა ისევე მნიშვნელოვანია, როგორც მათზე ფიქრი.

ეკზოტიკური/განსაკუთრებული შინაარსი, რომელიც ყველაზე უკეთ ასახავს გმირულ თვისებას:
უსასრულობა ჩვენს წარმოსახვას მრავალნაირი სახით იპყრობს. მაგალითად, ყველას გვაინტერესებს უსასრულოა თუ არა სამყარო. ძალიან მარტივი შეცდომა იქნება თუ დავასკვნით, რომ ის უსასრულო უნდა იყოს, რადგან თუ ასე არ არის, მაშინ საზღვარი უნდა ჰქონდეს და მაშინ იმ საზღვრის მიღმა რაღაა? ამის პასუხი ასეთი უნდა იყოს: შეიძლება სამყარო სფეროს ჰგავს. სფეროს ზედაპირს საზღვარი არა აქვს, მაგრამ ის სასრულია სივრცეში. (სხვა სიტყვებით თუ ვიტყვით, შესაძლებელია, სამყარო სფეროს სამგანზომილებიან ზედაპირს ჰგავს, რომლიც ოთხგანზომილებიან კოსმოსში შეიძლება წარმოვიდგინოთ. ასე ფიქრობს კოსმოლოგების უმრავლესობაც.) თუმცა, შესაძლებელია, ასეც ვიფიქროთ: თუ სამყარო უსასრულოა, მაშინ მასში ვარსკვლავებისა და პლანეტების ასევე უსასრულო რაოდენობა უნდა იყოს, ე.ი., შეიძლება მასში დედამიწის მსგავსი პლანეტების რაოდენობაც ასევე უსასრულო იყოს, იმ განსხვავებით, რომ ყველას სამი ხელი ექნება (ან უკუღმა ილაპარაკებს). უბედურების მიზეზი ის ფიქრია, რომ ამგვარი უსასრულო წყება ყველაფერს უნდა მოიცავდეს. მიუხედავად ამისა, ერთი უმნიშვნელო მოსაზრება ნათლად გვაჩვენებს, რომ ეს ასე არ უნდა იყოს. ერთი შეხედვით მტკიცე არგუმენტი არსებობს ვარსკვლავების უსასრულო რაოდენობის საწინააღმდეგოდ. მარტივი გამოთვლა აჩვენებს, რომ ამ შემთხვევაში, ღამით მთელი ცა გაცისკროვნებული უნდა იყოს. ვარსკვლავთა ზედაპირი დაახლოებით ისეთივე ნათელია, როგორც მზის და თუკი მათი რაოდენობა უსასრულო იქნება, ხედვის ნებისმიერი არე საბოლოოდ ვარსკვლავზე შეჩერდება და ცის მთლიანი კამარა ისეთივე თვალისმომჭრელი იქნება, როგორც მზე. ამის საწინააღმდეგო არგუმენტად ის შეიძლება გამოვიყენოთ, რომ ყველაზე შორეული ვარსკვლავების შუქი სანამ ჩვენამდე მოაღწევს გაზებისა და მტვრისაგან ფერმკრთალდება, მაგრამ ეს თუ ასეა, თვით ეს გაზები ისეთ ტემპერატურამდე გაცხელდება, რომ, შესაძლებელია ასევე თვალისმომჭრელად აკაშკაშდეს. ეს პრობლემა ჰეინრიხ ოლბერის (1758-1840) საპატივსაცემოდ `ოლბერის პარადოქსის~ სახელით არის ცნობილი. თუმცა ის უკვე გადაიჭრა; სამყარო უსასრულოც რომ იყოს, ვიცით, რომ მისი ექსპანსია (გავრცელება) ღამეული ცის სიბნელის ახსნის საშუალებას გვაძლევს. შორეული ვარსკვლავები გარე ჩარევის გამო კი არ ფერმკრთალდება, არამედ იმიტომ, რომ ისინი გვშორდებიან, მათი შუქის ტალღის სიგრძე იზრდება, ხოლო ენერგია ამგვარი მოძრაობის გამო მცირდება. ამრიგად, ოლბერის ეფექტი წინააღმდეგობას არ წარმოადგენს მათთვის ვისაც სამყაროს უსასრულობისა სჯერა. და მაინც, გასაოცარია, რომ დაშვება ვარსკვლავთა უსასრულობის შესახებ, შესაძლებელია სიამოვნებით ვაღიაროთ ან უარვყოთ, იმის მიუხედავად აქვს თუ არა მას ლოგიკური საფუძველი. საბოლოოდ, შეიძლება საკუთარ თავს ვკითხოთ სასრულია თუ არა დრო (მაშინ მაინც, როცა წარსულს გადავხედავთ). თუ ის სასრულია და დაიწყო მხოლოდ ერთი დიდი აფეთქებით (`დიდი აფეთქების~ თეორია საყაროს წარმოშობის შესახებ ერთ-ერთი თეორიაა), მაშინ დიდ აფეთქებამდე რაღა იყო? რამ მისცა პირველი ბიძგი ამ ყველაფერს და რა იყო იმ ერთადერთი მოლეკულის პირველწყარო, რომელიც, შესაძლებელია, შემდეგ განვითარდა?
2.2 გაკვეთილის ან თავის აგება
როგორ უნდა მივცეთ მასალას მოთხრობის ფორმა რათა უკეთ შევძლოთ გმირული თვისებების ილუსტრაცია? გააკეთეთ მოთხრობის მონახაზი ისე, რომ ეს თვისებები თხრობაში ნათლად იყოს ნაჩვენები.
არსებითი გმირული თვისებების ჩვენებაში დაგვეხმარება დრამა ან კონფლიქტი. უნდა გვახსოვდეს, რომ გმირული სწორედ ის თვისებები უნდა იყოს, რომლებიც ყველაზე უკეთ გადმოგვცემს თემის შინაარსს.
გაკვეთილის/თავის მთლიანი სტრუქტურის აგება:
შესაძლებელია, მასწავლებელმა ფონად `სასტუმრო უსასრულობის~ სურათი გამოიყენოს და ასეთი ისტორია უამბოს. `სასტუმრო უსასრულობა~ უზარმაზარი სასტუმროა ჩვენი გალაქტიკის ცენტრში. მისი ოთახების უმრავლესობა შავი უკანა ხვრელის საშუალებით მოცულობაშია გაზრდილი. ოთახების ნუმერაცია 1-დან იწყება და უსასრულოდ გრძელდება. არის ოთახი 2, 1,001, 1,000,000 და თვით ოთახი რომლის ნომერი 1-ით და 100 ნულით იწერება.
ერთ დღეს, როცე ყველა ოთახი დაკავებული იყო, პილოტმა, რომელიც სხვა გალაქტიკაში მიემგზავრებოდა სასტუმროში დაბინავება მოინდომა. ის აფორიაქებული ჩანდა, რადგან ოთახების უსასრულო რიგს დაკავებულს ხედავდა. სასტუმროს მენეჯერმა დაამშვიდა: `ნუ წუხართ, თქვენთვის ოთახს ყოველთვის ვიშოვნი~. 
`სასტუმრო უსასრულობა~, როგორც, ალბათ, უკვე წარმოიდგენდით, უცნაურობებით გამოირჩეოდა. მაგალითად, ყველა ოთახს დინამიკი ჰქონდა, და ყველა, ვინც სასტუმროში დაბინავდებოდა უნდა დამორჩილებოდა მენეჯმენტის მიერ გაცემულ ნებისმიერ ბრძანებას.  
ამრიგად, მენეჯერმა უბრალოდ სთხოვა სასტუმროს ყველა მაცხოვრებელს გადასულიყო მომდევნო ნომრის მქონე ოთახში. ქალიშვილი #1 ოთახიდან #2-ში გადაბარგდა, წყვილი #2 ოთახიდან -  #3-ში და ა.შ. ეს იყო გიჟური ალიაქოთი იმ ადამიანებისა, რომლებიც გაჩქარებულები იცვლიდნენ ოთახებს `სასტუმრო უსასრულობის~ უსასრულოდ გრძელ დერეფანში: 1‡2, 2‡3, 3‡4, . . . ნ‡ნ +1, . . .
ოთახი #1 პილოტისათვის განთავისუფლდა.
მეორე დღეს ხუთი წყვილი გამოჩნდა და თაფლობისთვის გასატარებლად ხუთი ცალკე ოთახი მოითხოვა. როგორ უნდა მიეღო ისინი სასტუმროს ხელმძღვანელობას?
მოსწავლეები, ალბათ, ძალზე ადვილად უკარნახებენ მენეჯერს პრობლემის გადაჭრის გზას. ჰკითხეთ მოსწავლეებს, როგორ მოახერხებდა ის ამას. დიახ, ძალზე ადვილად – მენეჯერმა უნდა სთხოვოს ყველა მაცხოვრებელს თავისი ოთახის ნომერს მიამატოს 5 და გადავიდეს რიგით მე-5 ოთახში: 1‡6, 2‡7, 3‡8, . . . n‡n+5, . . . 
ამრიგად, ხუთი წყვილისათვის ოთახები 1-დან 5-მდე თავისუფალი დარჩება.
შაბათ-კვირას სანამ მაცხოვრებლები ჯერ ისევ სასტუმროში იყვნენ, საღეჭი რეზინის უთვალავი გამყიდველი მოადგა სასტუმროს ხელშეკრულების შესახებ შეხვედრის ჩასატარებლად. შევძლებთ თუ არა მათთვის ოთახების მონახვას? ჰკითხეთ მოსწავლეებს როგორ შეიძლება პრობლემის მოგვარება.    
მენეჯერმა გამოსავალი იპოვნა და ინტერკომის საშუალებით გამოაცხადა, `ბოდიშს გიხდით შეწუხებისათვის, მაგრამ თუ ნ ოთახში ბრძანდებით, გთხოვთ 2*n-ში გადაბრძანდეთ~. რადგან სასტუმროს ყველა სტუმარს არანაკლებ 2 თითი ჰქონდა, 2-ზე გამრავლება ძალიან ძნელი არ იყო და ამიტომ პრობლემა სწრაფად მოგვარდა: 1‡2, 2‡4, 3‡6, . . . ნ‡2*n
კენტნომრიანი ოთახები გამოთავისუფლდა და გამყიდველები 1, 3, 5, . . . ოთახებში დაბინავდნენ. 
მენეჯერის ნერვიულობა ამით არ დამთავრებულა. მომდევნო დღეს დიდი რელიგიური შეკრება იყო და უთვალავმა ცივილიზაციამ კოსმოსური ხომალდით თავისი მორწმუნეები გამოაგზავნა. თავი მოიყარა უთვალავი რელიგიის წარმომადგენელმა უთვალავმა ადამიანმა, რომელთაც ცალკე ოთახები სურდათ.
არავითარ სიძნელეს არ წარმოადგენს, ბრძანა მენეჯერმა. მხოლოდ ერთი წუთი მადროვეთ, რომ ყველაფერი გამოვთვალო. შეძლებენ თუ არა მოსწავლეები ამ ამოცანის გადაჭრას?
პირველ ყოვლისა მენეჯერმა ყველა სტუმარს სთხოვა გადასულიყო ოთახში 2n-ში, ამრიგად ოთახი 1-ის მაცხოვრებელი ოთახ 2-ში გადაბარგდა: 1‡2, 2‡4, 3‡8, 4‡16, . . . ნ‡2n
გამოთავისუფლდა კენტნომრიანი და ბევრი სხვა ოთახი.
საბედნიეროდ მენეჯერს ახსოვდა, რომ ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ პლანეტა დედამიწიდან დაამტკიცა, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვი.  
(წარჩინებული მოსწავლეებისათვის, შესაძლებელია, დამატებით მოვიშველიოთ დახვეწილი მტკიცება უარყოფით).
მენეჯერმა პირველი ხომალდის პილოტს აცნობა: `თქვენი ხალხი ისარგებლებს მარტივი რიცხვით 3 და მხოლოდ მისი ხარისხებით. ამრიგად, თქვენ შებრძანდებით ოთახებში 3, 9, 27, 81, და ა.შ. რადგან ასეთი ოთახები უსასრულოდ ბევრია, თქვენი ხომალდის ყველა წევრს ეყოფა. აი რა უთხრა მენეჯერმა მეორე კოსმოსური ხომალდის პილოტს: ``თქვენი ხალხი ისარგებლებს მარტივი რიცხვით 5 და მხოლოდ მისი ხარისხებით. ამრიგად, თქვენ შებრძანდებით ოთახებში 5, 25, 125, 625, და ა.შ. რადგან ასეთი ოთახები უსასრულოდ ბევრია, თქვენი ხომალდის ყველა წევრს ეყოფა. 
ნებისმიერი ხომალდისათვის ერთადერთი მარტივი რიცხვია და რაკი მარტივი რიცხვების ხარისხები განსხვავდება, თითოეული ცალკე ოთახ მიიღებს. ამას გარდა, ამ ოპერაციის შედეგად უთვალავი ოთახი ისევ ცარიელი რჩება. მაგალითად, ოთახები 6, 10, 12, 15 თავისუფალია. არსებითად, ყველა ოთახი, რომლის ნომერი არის ორი სხვადასხვა მარტივი რიცხვის წარმოებული (ნაწარმოები) თავისუფალია, რადგან არ არსებობს 2-ის ხარისხი ანუ მარტივი რიცხვის ხარისხი.
6=2*3, 10=2*5,…, 1000=2*2*2*5*5*5.

2.3. შინაარსის შერბილება (გაადამიანურება, გაკეთილშობილება)
მოთხრობის რომელი ასპექტები ასახავს ყველაზე უკეთ ადამიანურ ემოციებს და აღვიძებს ინტერესს? რომელი იდეალების და/ან ადათ-წესების პროვოცირებაა არის თვალსაჩინო თემის შინაარსში?
გავიხსენოთ როგორ არის ნაჩვენები კარგ კინოფილმში ან რომანში ცხოვრებისეული ასპექტები. ის წინააღმდეგობები, რომლებსაც გმირი აწყდება რაღაც ფორმით და გარკვეული მოტივით გაადამიანურებულია; ისინი ჰუმანური სახით წარმოგვიდგება. ამისათვის გაყალბება სულაც არ არის საჭირო, პირიქით ვცდილობთ ხაზი გავუსვათ და განსაკუთრებული კუთხით წარმოვაჩინოთ, რადგან სწორედ ამ შემთხვევაში აღვიძებს ცოდნა მოსწავლეთა წარმოსახვას.    


რა შინაარსის ჩვენება არის შესაძლებელი ყველაზე უკეთ იმედის, შიშის, განზრახვის ან სხვა ემოციების ფორმით?

პარადოქსული აზროვნება ერთ-ერთი ძლიერი სტიმულია, რომელიც იპყრობს მოსწავლეთა წარმოსახვას. ის, რაც თავდაპირველად ჩვენი ინტუიციის საწინააღმდეგოდ გვეჩვენება, გულდასმით დაკვირვების შედეგად (და ჩვენი სასტუმროს ლოგიკურად მოაზროვნე და აღუშფოთველი მენეჯერის დახმარებით) უცებ აზრს იძენს. მოსწავლეები გაოცებულები რჩებიან იმით, რომ ჩვეული ცოდნა არითმეტიკაში უთვალავი ელემენტისაგან შემდგარი მიმართულებების საფუძველი ხდება და, რომ, თუ უსასრულობას მივუმატებთ უსასრულობას, ისევ უსასრულობას მივიღებთ.   

2.4. დეტალების განხილვა
თემის რომელი ნაწილების განხილვა არის შესაძლებელი მოსწავლეების მიერ ყველაზე ამომწურავად?
მოსწავლეთათვის პროექტზე მუშაობა ადვილია, უფრო ძნელია იფირონ იმაზე თუ თემის რა ასპექტების ამოწურვა შეუძლიათ, ე.ი. შეძლონ მოიძიონ თემის ირგვლივ თითქმის ამომწურავი მასალა. ამგვარი მასალა ყველა თემაშია და ოსტატობის საიმედობა და აზრი იცოდე რაღაცის შესახებ იმდენივე, რამდენიც სხვამ, დიდი სტიმულია კვლევისათვის. ფიქრი იმის შესახებ რაც გვაინტერესებს და მოსვენებას არ გვაძლევს, რაც, შესაძლებელია, განსხვავებული რაკურსით დავინახოთ, რაც მინიშნებულია, მაგრამ დაწვრილებით არ არის განხილული შინაარსში ან სწავლების პროცესში (ალბათ, ამ მიზნით 2.2 და 2.3 პუნქტები გამოგადგებათ!).    


ჩამოთვალეთ ის ასპექტები, რომლის განხილვაც ამომწურავად შეუძლიათ მოსწავლეებს;
უსასრულობის შესახებ ძალიან ბევრი, უთვალავი თემა არასებობს, რომლის განხილვაც მოსწავლეებს შეუძლიათ. აქ მხოლოდ რამდენიმეა მოცემული:
* googol-ის მსგავსი ძალიან დიდი რიცხვების არითმეტიკა. ეს არითმეტიკა რაღაცით ჰგავს უსასრულობას, მაგრამ მნიშვნელოვანი სხვაობაც არის, მაგ., უსასრულობის მსგავსად googol+1=googol, თუმცა, googol + googol =2 googol. 
* რა იქნება, თუ სიმრავლეებს მიმატების ნაცვლად, გავყოფთ? შესაძლებელია, განვიხილოთ ზენოს არაჩვეულებრივი პარადოქსი. მაგალითად, აქილევსის პარადოქსი კუზე ნადირობა კარგი შესავალია სექუენცეს (ალბათ, რიგის!) ასახსნელად და ასევე კარგი მაგალითია უფროს კლასებში მათემატიკის გაკვეთილებზე მოთხრობის სახით გამოსაყენებლად. 
* წარჩინებულ მოსწავლეებთან, შესაძლებელია ალეპჰ-ზერო –ს და კონტინიუმის კანტორისეული გასაოცარი თეორემის (დებულების, მტკიცებულების, პროოფ) განხილვა.
* შედარება ლეიბნიცის თეორიისა უსასრულოდ მცირე სიდიდეების შესახებ და მონადისა (ფილოსოფიური ტერმინია და რას ნიშნავს არ ვიცი! ნ.ჭ.), რომელიც ერთგვარი დამატებითი მნიშვნელობაა ნიუტონის იდეისა ფლუკსიის (წარმოებულის) შესახებ. ორივე თეორიამ საფუძველი ჩაუყარა თანამედროვე გამოთვლით სისტემებს.     

3. დასკვნითი ნაწილი
როგორ შეიძლება ამ თემის დასკვნითი ნაწილი დამაკმაყოფილებელი გავხადოთ? როგორ შეიძლება მოსწავლემ ეს კმაყოფილება იგრძნოს? როგორ შეიძლება გავაღვიძოთ ამ თემისადმი ინტერესი?
შესაძლებელია, ვინმეს ამ თემის “ჰეროიკულ~ ნოტაზე” დასრულება სურდეს. აქ ორი გზა არსებობს. ერთი გზაა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ თავდაპირველ ხატებს (სახეებს) და შინაარსი სხვა ჰეროიკული (გმირული) თვისებების ობიექტივში ხელახლა განვიხილოთ, რითაც შესაძლებელია, ასე ჩვენს მიერ მანამდე არჩეულის საპირისპირო, ანუ წინააღმდეგობრივი ხატიც შევქმნათ. მეორე გზაა ვაჩვენოთ, თუ როგორ ეხმარება მოსწავლეს ჩამოყალიბებული რომანტიკული ასოციაცია სხვა თემების ახლებურად გააზრებაში. რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ორივე გზის გამოყენება. დასასრულს კიდევ ერთხელ გვინდა მივუბრუნდეთ თემას და ვაჩვენოთ თუ რატომ შეიძლება გვქონდეს მის მიმართ ინტერესი და მოწიწება.   

დასკვნითი სავარჯიშოები:
შესაძლებელია, საკუთარ თავს ვკითხოთ სასრულია თუ უსასრულო სამყარო და რა გაგებით. შესაძლებელია, მოსწავლეთა ორ ურთიერთსაწინააღმდეგო შეხედულებების მქონე მხარეს შორის სოკრატესეული დიალოგი გავმართოთ და ვთხოვოთ მოიშველიონ უსასრულობის შესახებ მათი გაღრმავებული წარმოდგენების დამადასტურებელი არგუმენტები.  
შესაძლებელია, ძირითადი იდეების მიმოხილვისათვის ქვემოთმოცემული სიმღერის გამოყენება:

`სასტუმრო უსასრულობა~
ლექსი © 2000 © 2000 Lawrence Mark Lesser
შესაძლებელია, Don Felder-is, Don Henley-is da Glenn Frey მიერ შექმნილი ანსამბლ «იგლს” სიმღერის “სასტუმრო კალიფორნია” მელოდიის გამოყენება

ბნელ, მიყრუებულ გზატკეცილზე ბევრი არაფერი ჩანს.
შორს მხოლოდ გრძელ, გაწელილ სასტუმროს ვხედავ.
თუმცა ნეონის აბრაზე წერია `ადგილები არ არის~,
მაგრამ ასე გვიან და დაღლილი თხოვნას გადავწყვეტ.

კლერკი მეუბნება, “პრობლემა არ არის. ასე მოვიქცევით:
ყველას ერთი ოთახით გადაადგილებას ვთხოვთ.
ასე გამოთავისუფლდება პირველი ოთახი და დაბინავებას შეძლებთ”.
მისი ნათქვამი ასე გავიგე:  

მისამღერი:
“კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება სასტუმრო უსასრულობაში,
სადაც ყველა ოთახი დაკავებულია (ყველა ოთახი დაკავებულია)
და მაინც, ერთი ოთახი თავისუფალია. 
ჰე, უთვალავი ოთახია სასტუმრო უსასრულობაში,
გადაადგილდით ქვევით (გადაადგილდით ქვევით)
და ოთახი განთავისუფლდება”.

დავბინავდი და ჩანთა ამოვალაგე,
როცა ეზოში 8 მანქანა დავინახე.
მე-9 ოთახში გადავბარგდი; სხვებმაც საკუთარი ოთახის ნომერს
8 მიამატეს და გადაბარგდნენ.
აღარასოდეს ამერევა სასტუმრო ჰილტონი სასტუმრო ჰილბერტში.

გონება მეტად ამერია, როცა უსასრულო ავტობუსი დავინახე.
მისი უთვალავი მგზავრი სასტუმროსკენ გამოემართა.
“დამშვიდდით”, უთხრა მასპინძელმა. “ასე მოვიქცეთ:
გადაბარგდით ოთახში რომლის ნომერი თქვენი ოთახის გაორმაგებული ნომერია და კენტი ოთახები გამოთავისუფლდება” 

მისამღერი  

გამომშვიდობებისას რაც მახსოვს ის იყო,
რომ ფული უნდა გადამეხადა, მაგრამ კაპიკი არ მქონდა.
კაცმა მე-19 ოთახიდან გამიცინა და მითხრა: ჩემზე იყოს,
მე-20 ოთახისა ჩემსას იხდის, სხვა სხვისას, თქვენ კი არაფერს~. 


4. შეფასება

როგორ უნდა შევაფასოთ გაიგეს და ისწავლეს თუ არა მოსწავლეებმა შინაარსი, ჩაერთო და გააქტიურდა თუ არა მათი წარმოსახვა?

შეფასების ნებისმიერი ტრადიციული ფორმის გამოყენება შეიძლება, მაგრამ მასწავლებელმა დამატებით შეიძლება იმის გაგებაც მოინდომოს, თუ რამდენად ჩართული იყო მოსწავლეთა წარმოსახვა და რამდენად წარმატებულად განხორციელდა მოსწავლეთა წარმოსახვისა და მასალის შერწყმა. ზემოთ მოცემული დასკვნითი სავარჯიშოები შეფასებითი ხასიათისაა. შეიძლება მოსწავლეებს ვთხოვოთ განსაზღვრონ სხვა საგნებში ჩატარებულ გაკვეთილებზე მოსმენილი ჰეროიკული თვისებები, იმისათვის, რომ შევაფასოთ წარმოსახვითი თხრობა და მათ მიერ შინაარსის ცოდნა. შეიძლება, ჰეროიკული თვისებები ასევე განვიხილოთ მორალური/ეთიკური კუთხით.  

შეფასების ფორმები:
* შეიძლება, თავდაპირველად შეფასების ტრადიციული ფორმები გამოვიყენოთ. მაგალითად, ვთხოვოთ მოსწავლეებს დაამტკიცონ, რომ გარკვეულ უსასრულო სიმრავლეებს აქვთ ელემენტების იმავე რაოდენობა 1-1 მეთოდის შესაბამისად. 

* შეიძლება, გავრცობისათვის ვთხოვოთ მოსწავლეებს დაამტკიცონ, რომ ყველა წილადის სიმრავლეს ისეთივე რაოდენობის ელემენტები აქვს, როგორც მთელი რიცხვების სიმრავლეს, მაგრამ უფრო ნაკლები, ვიდრე ნამდვილი რიცხვების სიმრავლეს.

* ვთხოვოთ სოკრატისეულ დიალოგში მონაწილეობა და ესეს მსგავსი წერითი სამუშაოს შესრულება, რომელშიც საჭირო იქნება უსასრულობის შესახებ “დიდი” იდეების მხარდამჭერი დასაბუთება.

* შეიძლება ვთხოვოთ წერით, გრაფიკულად ან მოძრაობაში გამოხატონ უსასრულობის კონცეფცია. ამის გაკეთება შეიძლება წარმოსახვისა და უსასრულობის შესახებ ზოგიერთი ისეთი მოსაზრების კომბინირებისათვის, რომელიც ამ გაკვეთილში არ იყო მოხსენიებული.